Le equazioni alle differenze applicate allo studio di alcuni modelli economici = Difference equations applied to the study of some economic models

L'inizio dello sviluppo formale della teoria delle equazioni alle differenze risale circa al 1700 con personalità come De Moivre ed Eulero. In seguito sono stati sviluppati studi per quanto riguarda il comportamento asintotico delle soluzioni e le approssimazioni numeriche. Durante gli anni '50, diversi ecologisti usarono semplici equazioni alle differenze non lineari, inclusa l'equazione logistica, per studiare il cambiamento delle popolazioni da un anno all'altro, che con il passare degli anni sono diventate un punto focale nell'area dei sistemi dinamici caotici. Queste scoperte hanno attirato l'attenzione dei ricercatori che hanno cercato di applicare i risultati in campi dall'economia alla medicina. Nella prima parte è presente un’introduzione generale alle equazioni alle differenze, la loro definizione, la ricerca dei punti di equilibrio e le loro caratteristiche di stabilità, sia per il caso univariato che multivariato, con l’analisi della funzione logistica presa come esempio. Successivamente, viene descritto il metodo per la ricerca delle soluzioni, sia per le equazioni univariate di ordine uno, che per quelle di ordine maggiore di uno. Nel secondo capitolo vengono analizzati alcuni modelli economici descritti attraverso le equazioni alle differenze univariate di primo ordine. Si parte dal modello Cobweb, usato per un'analisi dell'equilibrio dinamico che prende in considerazione la fluttuazione dei prezzi su un mercato unico, senza la possibilità di immagazzinare i beni. Questa possibilità sarà inserita nell'analisi successiva, attraverso un'equazione di secondo ordine. Un altro modello descritto è quello di Solow, che ci mostra come il risparmio, la crescita della popolazione ed i miglioramenti tecnologici, sono fattori che influenzano la crescita di un sistema economico, inteso come un ente che produce ricchezza. Il tutto analizzato sempre tramite un'equazione di primo ordine. L'ultimo modello di questo tipo è quello dell'iperinflazione di Cagan, in cui viene studiato il rapporto tra offerta monetaria e livello dei prezzi. Successivamente vengono analizzati modelli economici descritti con equazioni alle differenze lineari di ordine maggiore. In questo ambito, i modelli rappresentati sono, ad esempio, quello di Samuelson, che affronta la teoria del ciclo economico generato esclusivamente dal lato della domanda, il modello di Taylor che tratta lo scaglionamento dei contratti salariali e il modello di Cobweb precedentemente citato. La logica con cui vengono analizzati questi ultimi modelli prevede il calcolo dell'equazione caratteristica associata all'equazione alle differenze omogenea, il calcolo delle sue radici, l'applicazione del principio di sovrapposizione per ottenere la soluzione globale e l'applicazione del metodo dei coefficienti indeterminati per trovare la soluzione particolare.