Analysis on weighted homogeneous trees

Oggetto della tesi è l'analisi su uno spazio metrico di misura (V, d, µ) costruito sui nodi V di un albero omogeneo infinito dotato della usuale distanza d e di una misura del conteggio pesata µ che tiene di conto la speciale struttura a livelli dell'albero. Lo spazio (V, d, µ) esibisce varie interessanti proprietà. Per esempio, ha crescita esponenziale di volume all'infinito. Come conseguenza la proprietà doubling non è soddisfatta e per questo la teoria classica di Calderón–Zygmund sviluppata su spazi di tipo omogeneo nella seconda metà del 20esimo secolo non si applica a questo contesto. Risulta quindi significativo costruire una nuova teoria adattata a questo spazio. A questo scopo discutiamo la teoria astratta di Calderón–Zygmund introdotta da Hebisch e Steger a mostriamo che può essere applicata al contesto descritto. Questa teoria può essere usata per studiare le proprietà di limitatezza di integrali singolari associati a un Laplaciano sull'albero. In particolare, mostriamo un risultato di limitatezza relativo a degli operatori che sono gli analoghi delle trasformate di Riesz classiche in questo contesto.