Formulazioni frazionaria e frattale del modello di Poisson-Nernst-Planck per la propagazione del potenziale di membrana in una cellula nervosa = Fractional and fractal formulation of the Poisson-Nernst-Planck model for the propagation of the membrane potential in neurons

Questo lavoro di Tesi ha l'obiettivo di studiare la propagazione del potenziale di membrana in cellule nervose del sistema nervoso centrale. A tal proposito, formuliamo tre diversi modelli matematici degli aspetti più salienti della elettro-chimica di una cellula nervosa. Come punto di partenza, spieghiamo, e parzialmente riscriviamo, il Modello di Poisson-Nernst-Planck (Modello PNP), già disponibile in letteratura. Successivamente, sviluppiamo una versione del Modello PNP fondata sull'impiego del Calcolo Frazionario (Modello PNP frazionario). A tal proposito, prendendo spunto dalla letteratura e adoperando opportuni operatori integro-differenziali, mettiamo le Equazioni di Maxwell in forma frazionaria e le elaboriamo per ottenere il Modello PNP frazionario. La motivazione alla base di tale approccio è la complessità geometrica e strutturale dei fasci di fibre nervose, che può condurre all'insorgenza di fenomeni non-locali. Tale non località può avvenire sia in spazio sia in tempo, ma nel presente studio consideriamo solo non-località spaziali. Infine, presentiamo una versione frattale del Modello PNP (Modello PNP Frattale). Anche in questo caso, abbiamo tratto spunto dalla letteratura per scrivere sia le Equazioni di Maxwell sia le leggi di bilancio del modello in forma frattale. Quest'ultima parte della Tesi è stata condotta a seguito di alcuni studi, presenti in letteratura, secondo i quali le strutture assoniche mostrano dimensione frattale piuttosto che intera. La Tesi si sviluppa nell’ambito di un filone di ricerca che ha come obiettivo a lungo termine lo studio del deterioramento dell'efficacia del potenziale di membrana in cellule nervose affette da patologie demielinizzanti, quali la sclerosi multipla.