Implementazione e confronto di due diverse basi polinomiali nella costruzione VEM in 2D e 3D = A comparison between two different polynomial bases and their implementation in the construction of VEM in 2D and 3D

Il lavoro di tesi svolto ha lo scopo di confrontare due possibili scelte per la base polinomiale sui poligoni utilizzata nei Virtual Element Method (VEM), introdotte per migliorare la stabilità numerica del metodo rispetto alla classica scelta della base dei monomi scalati. Quest’ultima risulta essere efficiente da un punto di vista computazionale, ma influisce negativamente sul numero di condizionamento della matrice di stiffness in presenza di elementi caratterizzati da una forte anisotropia e per valori del grado polinomiale sufficientemente alto. Entrambe le basi polinomiali analizzate sono ottenute a partire da quella monomiale. In particolare, la prima base analizzata dello spazio dei polinomi di ordine minore o uguale di k sul generico elemento E è ottenuta a partire dalla diagonalizzazione della matrice di massa relativa alla base dei monomi. Tramite questa procedura si ottiene dapprima una base ortonormale rispetto al prodotto scalare in L2(E) per lo spazio dei polinomi di ordine minore o uguale a k-1. Successivamente, essa viene estesa in modo opportuno al fine di costruire una base per l’intero spazio dei polinomi di ordine minore o uguale a k. Si noti che è necessaria l’introduzione di una base per entrambi gli spazi polinomiali per la costruzione dei proiettori locali coinvolti nella definizione della matrice di stiffness associata al problema di reazione-convezione-diffusione di cui si propone l’analisi. La seconda base è ottenuta applicando l’algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt modificato alla matrice di Vandermonde dei monomi. Si noti che tale procedura consente di ottenere una sequenza di basi ortonormali gerarchica al variare del grado polinomiale k. Entrambe le procedure sono state implementate all’interno di un codice VEM preesistente, ridefinendo i metodi che si occupano della costruzione dei proiettori locali sia nel caso 2D che nel caso 3D. Poiché i metodi agli elementi virtuali richiedono un costo superiore rispetto quelli agli elementi finiti (FEM), a causa dell’assemblaggio di tali proiettori locali, il codice utilizzato utilizza un approccio totalmente basato sulle matrici al fine di migliorare l’efficienza computazionale. Gli esperimenti numerici hanno dimostrato che l’introduzione di una base ortonormale rispetto al prodotto scalare in L2(E) e, in particolare, la ridefinizione dei gradi di libertà in funzione di quest’ultima, permette di limitare il numero di condizionamento della matrice di stiffness, migliorando la stabilità numerica del metodo.