Problemi di controllo ottimo stocastico modellati da PDE soggetti a vincoli basati sul Conditional Value-at-Risk = PDE-constrained stochastic optimal control problems subject to Conditional Value-at-Risk constraints

In questo elaborato si affrontano problemi di controllo ottimo vincolati da equazioni alle derivate parziali (PDE) in presenza di incertezza modellistica. Nello specifico, viene analizzato l’impatto dell’incertezza su alcuni parametri del problema e vengono proposte strategie per il controllo del rischio associato, sia in termini di formulazione matematica sia dal punto di vista numerico. Dopo una preliminare analisi del caso deterministico, utile come base teorica, viene analizzato il problema stocastico, studiandone il comportamento in presenza di variabili di controllo, definite sull'intero dominio oppure sul contorno, minimizzando un funzionale obiettivo ridotto di tipo risk-neutral. Nella seconda parte, si approfondisce l’impiego del Conditional Value-at-Risk (CVaR) come strumento per modellare l’avversione al rischio. L'obiettivo di questa tesi è rappresentato dal confronto di due approcci computazionali, basati su strategie di tipo interior-point, per la risoluzione di problemi di controllo ottimo che includono, come vincolo, la misura di rischio CVaR valutata rispetto ad un funzionale di interesse. Nel primo approccio viene considerata una riformulazione di tipo epigrafico del vincolo mentre nel secondo viene implementata una strategia di smoothing della misura di rischio, unitamente al metodo della funzione implicita per eliminare la variabile aggiuntiva derivante dalla riformulazione del CVaR proposta da Rockafellar e Uryasev. Sono presentati, infine, alcuni risultati per evidenziare le caratteristiche di questi metodi, considerando sia un funzionale obiettivo di tipo risk-neutral che uno di tipo risk-averse, utilizzando sempre il CVaR come misura di rischio. Le metodologie sviluppate costituiscono una base solida per futuri approfondimenti su problemi più complessi o ad alta dimensionalità.