Buona positura e propagazione del caos per modelli multi-agente con strategie ed effetti diffusivi = Well-posedness and propagation of chaos for multi-agent models with strategies and diffusive effects

La tesi è dedicata allo studio di un nuovo modello multi-agente in cui gli individui sono dotati di strategie e sono soggetti a effetti diffusivi. Il modello proposto rappresenta un'estensione del sistema proposto nell'articolo "Spatially Inhomogeneous Evolutionary Games" (Ambrosio et al., CPAM 2021), dove gli autori elaborano un modello particellare in cui lo stato microscopico di ciascuno degli N agenti della popolazione è costituito da una posizione spaziale e da una misura di probabilità su uno spazio metrico compatto U; quest'ultimo viene interpretato come un insieme di strategie. Tale misura di probabilità (o "strategia mista", adottando la terminologia propria della teoria dei giochi) determina la dinamica spaziale degli agenti e contestualmente evolve nel tempo attraverso un meccanismo di interazione binaria e non locale con gli altri individui della popolazione. L'evoluzione delle strategie miste segue un principio darwiniano: le strategie che massimizzano una data funzione di utilità J sono adottate dagli agenti con una frequenza progressivamente maggiore. L'obiettivo principale della tesi è l'estensione del modello di Ambrosio et al. tramite l'introduzione di un termine diffusivo che agisce sulle componenti spaziali degli agenti. La presenza di una fonte di aleatorietà ci obbliga ad esprimere l'evoluzione dello stato microscopico degli agenti attraverso un processo stocastico a valori in R^d × P(U), trasformando il modello di Ambrosio, originariamente formulato mediante un'equazione differenziale ordinaria, in un'equazione differenziale stocastica. Il contributo della tesi consiste nella dimostrazione della buona positura del modello sotto ipotesi poco restrittive sui campi che ne governano la dinamica e sui dati iniziali; viene inoltre ricavata una stima a priori sui momenti delle soluzioni. Successivamente si fornisce una descrizione di campo medio del sistema, deducendone le relative proprietà di buona positura e studiando alcune proprietà probabilistiche delle sue soluzioni. Infine, viene dimostrato un risultato di propagazione del caos, dal quale si deduce che le soluzioni del modello con N particelle convergono, in un senso opportuno, alle soluzioni del modello di campo medio quando il numero di agenti tende all'infinito.