Uno studio preliminare della meccanica della crescita volumetrica formulata secondo la teoria gradiente di Gurtin e Anand dei fenomeni anelastici = A preliminary study of the mechanics of volume growth formulated according to Gurtin and Anand's gradient theory of inelastic phenomena

Nel corso del XX secolo la Meccanica dei Continui è stata al centro dell'attenzione di numerosi autori, che, grazie al loro contributo scientifico, hanno rivoluzionato i fondamenti della teoria ed ampliato la classe di sistemi fisici descrivibili attraverso di essa. A tal proposito, accesi dibattiti sono stati condotti per cercare un punto d'incontro nell'approccio, nel linguaggio matematico e nella corretta formulazione e comprensione di concetti fondazionali della Meccanica dei Continui. Inoltre, il crescente interesse verso lo studio di materiali muniti di una particolare struttura interna, quali quelli biologici, ha portato alla determinazione di nuovi fenomeni descrivibili dalla teoria. L'obiettivo di questa Tesi è quello di mostrare in che modo sia possibile descrivere fenomeni di crescita (variazione di massa) e di rimodellamento (variazione delle proprietà strutturali) in materiali biologici che possiedono una microstruttura libera di evolvere, delineando un approccio sistematico per lo studio di questa classe di processi fisici basato sul Principio dei Lavori Virtuali e su alcuni aspetti del linguaggio della Geometria Differenziale. In questo contesto una domanda centrale di questa ricerca è la seguente: "Quali sono le forze che rivestono un ruolo attivo nella dinamica di sistemi composti da materiali con una microstruttura?" Per rispondere a questa domanda, come vedremo, bisogna appellarsi al concetto di dualità e di grado della teoria. Da un lato, la dualità consente di individuare gli enti dinamici a partire dalla definizione delle variabili cinematiche che rappresentano i gradi di libertà del sistema fisico. Dall'altro, il grado della teoria consente di cogliere ben determinati effetti, legati a scale di lunghezza intrinseche del sistema considerato, che il modello si propone di includere ed analizzare. Per completare tale quadro teorico è necessario adoperare strumenti tipici della Teoria del Legame Costitutivo che consentono di chiudere il sistema delle equazioni dinamiche in maniere fisicamente sensata, oltre che di individuare le variabili oggettive del sistema fisico. Il lavoro svolto conduce un'analisi sulla dinamica di corpi continui dotati di microstruttura partendo dai concetti e dalle definizioni di base della Meccanica dei Continui e giungendo alla formulazione di un modello di primo gradiente nelle deformazioni anelastiche per la descrizione di fenomeni di crescita e rimodellamento di una determinata classe di tessuti biologici. La teoria a partire dalla quale la Tesi prende forma è quella sviluppata nell'articolo "A theory of strain-gradient plasticity for isotropic, plastically irrotational materials. Part II: Finite deformations" di M. E. Gurtin e L. Anand, pubblicato nel 2005 nell'``International Journal of Plasticity, vol. 21, pp. 2297--2318''.