Climbing Galois Mountain

Fin dai tempi più antichi i matematici si sono occupati di risolvere problemi che oggi vengono rappresentati tramite equazioni polinomiali. La soluzione di equazioni quadratiche può essere ottenuta in termini di coefficienti dell’equazione e usando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed estrazione di radici: questa tecnica è chiamata risoluzione per radicali. Intorno al 1830, Evariste Galois fornì la condizione necessaria e sufficiente per la risolubilità per radicali di una data equazione: inventando il concetto di sottogruppo normale fornì una veduta aerea di questo labirinto. L’approccio moderno alla teoria, tramite automorfismi, si allontana dalla formulazione originale di Galois e sottintende un certo livello di preparazione da parte del lettore riguardo le strutture algebriche. L’approccio originale di Galois, invece, è adatto ad un lettore con un background più elementare. La tesi vuole esporre la teoria di Galois così come fu concepita dal matematico: lo studio è stato effettuato partendo proprio dal suo articolo originale “Memoir on the Conditions for Solvability of Equations by Radicals” accompagnandolo con esempi concreti e aggiungendo un continuo parallelismo con l’alpinismo. Si è immaginato di partire da un campo base che rappresenta il campo dei coefficienti del polinomio di grado n di cui si vogliono trovare le radici e di voler arrivare in cima. La cima si raggiunge quando si è trovata un’estensione del campo base in cui le n radici sono tutte distinte. Gli aspetti fondamentali della teoria di Galois sono la relazione tra l’equazione algebrica f(x) = 0 e il gruppo ad esso associato, e come questo gruppo cambi dopo l’estensione del campo base. La prima parte offre una panoramica degli strumenti matematici necessari per comprendere al meglio la teoria di Galois, tra questi i concetti di gruppo, permutazione, campo ed equazioni ciclotomiche. Dopo una breve presentazione del problema analizzato da Galois, verranno presentati i punti fondamentali della teoria accompagnati da esempi ed applicazioni pratiche, elaborate con il software Mathematica. Vengono riportati esempi in cui viene confrontata la risoluzione di un’equazione attraverso l’uso di formule e attraverso l’estensione del campo base per radicali; inoltre sono riportati esempi di studio di equazioni in cui al campo base viene aggiunta una sola radice. A questo seguiranno dei cenni sulle applicazioni odierne della teoria (algoritmi di crittografia) e sull'interpretazione secondo l’algebra moderna (automorfismi).