Metodo di Galerkin discontinuo semi-lagrangiano per equazioni di Hamilton-Jacobi-Bellman = Discontinuous Galerkin semi-Lagrangian scheme for Hamilton-Jacobi-Bellman equations

L’equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman è un’equazione differenziale alle derivate parziali non lineare del primo ordine che emerge nel contesto dei problemi di controllo ottimo. Si può considerare come un’espressione differenziale del Principio della Programmazione Dinamica soddisfatto dalla "value function", ossia una mappa che intercorre tra qualsiasi condizione iniziale e il valore corrispondente al controllo ottimo. L’equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman, a causa della sua non linearità, in generale non ammette una soluzione classica, anche per dati regolari. Tuttavia, negli anni ‘80 è stata sviluppata una teoria delle soluzioni deboli, note come soluzioni di viscosità, che fornisce un quadro appropriato alla gestione della mancanza di regolarità della "value function". Negli ultimi due decenni, la letteratura scientifica ha proposto diversi approcci per risolvere la classe più generale di equazioni di Hamilton-Jacobi, tra cui Galerkin discontinuo in virtù della sua natura locale, flessibilità e robustezza. In questo lavoro di tesi, si propone un metodo numerico per risolvere l’equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman evolutiva in una dimensione. Esso consiste nella combinazione di uno schema semi-lagrangiano, orientato a ricostruire le linee caratteristiche, con un metodo di Galerkin discontinuo, atto a generare una soluzione approssimata come combinazione lineare di prescritte funzioni di base discontinue e a supporto compatto. Per dimostrare le prestazioni del modello proposto, sono raccolti e presentati una serie di esperimenti numerici con dati regolari, semplicemente continui e discontinui.