Modellizzazione della diffusione di una malattia infettiva mediante equazioni cinetiche per metapopolazioni = Modeling the spread of an infectious disease by kinetic equation for metapopulations

Nel presente lavoro di tesi viene illustrata un'applicazione della teoria cinetica per i sistemi multi-agente in campo epidemiologico. La trattazione è sviluppata a partire da equazioni cinetiche di tipo Boltzmann per un sistema che non conserva la massa, giungendo ad un modello matematico in cui la dinamica di interazione microscopica tra gli agenti del sistema viene arricchita con un doppio processo di Markov, che permette di discriminare la popolazione in classi mediante due criteri e descrivere il passaggio dell'agente da una categoria all'altra. Tale apparato modellistico è stato poi utilizzato per descrivere la dinamica di diffusione di una malattia infettiva. Ogni agente è identificato attraverso uno stato microscopico, quale la sua carica virale, ed una coppia di etichette. La prima ne descrive lo stato epidemico, ed in particolare gli agenti sono discriminati in quelli a cui non è stata diagnosticata l'infezione e dunque liberi di interagire ed in quelli diagnosticati infetti e posti in quarantena. La seconda invece, discrimina la popolazione in categorie sociali, e si esamina il caso in cui la popolazione viene divisa in 3 fasce d'età. Durante la dinamica di infezione ciascun agente può cambiare stato epidemico, e si assume che le probabilità di transizione dipendono dalla carica virale, che a sua volta si aggiorna a seguito di ogni interazione con un altro agente del sistema. Infine, i diversi gruppi sociali sono stati immaginati come organizzati su una rete di contatti, e la diversa probabilità di incontro in funzione della fascia d'età si concretizza nella frequenza di interazione. Nei primi due capitoli si descrivono brevemente alcune teorie matematiche adottate in campo epidemiologico, e si presenta una trattazione della teoria cinetica classica di tipo Boltzmann per i sistemi multi-agente. Nel terzo capitolo è presentato e discusso il modello matematico sviluppato. La dinamica di contagio della malattia è stata studiata in due scenari: nel primo si è assunto che l'interazione binaria e il cambio di etichetta avvengano sulla stessa scala temporale e che le probabilità di transizione siano costanti; il secondo invece considera le probabilità di transizione come funzione della carica virale e si analizza il caso in cui le interazioni microscopiche avvengono su una scala di tempo più veloce rispetto al cambio di etichetta di stato epidemico. In entrambi i casi si è studiata l'evoluzione nel tempo della densità di individui in ogni categoria e della rispettiva carica virale media. I risultati analitici ottenuti hanno permesso di evidenziare quali sono i parametri che giocano un ruolo fondamentale nel determinare l'esito della dinamica di contagio, fornendo uno strumento in grado di identificare dove intervenire a livello microscopico nel caso si volesse orientare la dinamica verso configurazioni desiderate. Nel quarto capitolo si presentano e discutono i risultati delle simulazioni numeriche, ottenuti attraverso lo sviluppo di un algoritmo di tipo Nanbu-Babovski in MATLAB. Lo strumento computazionale ha permesso di osservare i risultati ottenuti analiticamente e simulare anche il caso di tassi di guarigione diversi in funzione della fascia d'età. Nella sezione conclusiva si riassumono i principali risultati ottenuti, mettendo in luce che il modello matematico sviluppato ha la potenzialità di indagare dinamiche anche più complesse rispetto a quelle analizzate, fornendo alcune ipotesi di possibili ricerche future.