Numerical investigation on the eigenvalue problem of the quantum Rabi model

Storicamente, la luce veniva considerata come un'onda elettromagnetica. Utilizzando questo approccio non è possibile descrivere tutti i fenomeni ottici, alcuni di questi possono essere studiati solo con l'introduzione della teoria quantistica e considerando la luce come un flusso di fotoni. Questi fenomeni sono oggetto di studio dell'ottica quantistica. Il primo approccio allo studio dell'interazione tra luce e materia è stato classico, la luce veniva considerata come un'onda elettromagnetica e l'atomo era studiato come un dipolo. Successivamente, è stato introdotto l'approccio semiclassico, secondo il quale l'atomo veniva descritto secondo la teoria quantistica ma la luce sempre come un'onda. Nella seconda metà del ventesimo secolo un approccio quantistico è stato applicato anche alla luce, introducendo il concetto di fotone. Nasce così l'ottica quantistica studiata come viene studiata oggi. L'ottica quantistica trova applicazioni in moltissimi campi, quali la quantum electrodynamics e lo studio dei laser. In ottica quantistica, grande importanza ha il modello inizialmente proposto dal Rabi nel 1937. Questo modello venne inizialmente proposto utilizzando l'approccio semiclassico e venne tradotto utilizzando la teoria quantistica solo successivamente. Nella tesi il modello pienamente quantistico è investigato. Il modello quantistico di Rabi descrive la più semplice interazione tra la materia e la luce, dove un solo modo del campo elettromagnetico è considerato e la materia è rappresentata come un atomo a due livelli. Lo studio di una soluzione per il modello è di fondamentale importanza, conoscerla significa conoscere il comportamento del sistema. Al momento non è ancora stato dimostrata l'esistenza della soluzione. Negli anni sono stati presentati altri modelli che semplificano quello di Rabi, per cui soluzioni in forma chiusa sono note. In questa tesi vengono presentati i modelli di Jaynes-Cummings e di anti Jaynes-Cummings. Nella tesi, le Hamiltoniane di entrambi i modelli sono ottenute come semplificazioni dell'Hamiltoniana di Rabi. Inoltre, l'approssimazione dell'onda rotante utilizzata per ottenere l'Hamiltoniana di Jaynes-Cummings è analizzata attentamente. Soluzioni esplicite per gli autovalori e gli autovettori dei due modelli sono disponibili e sono ottenute nel lavoro presentato. Per l'Hamiltoniana di Rabi, gli autovalori sono invece ottenuti numericamente. Questi sono ottenuti utilizzando due diversi metodi dettagliatamente ricavati. In conclusione, viene dato spazio al confronto tra gli autovalori di Rabi e quelli dei modelli di Jaynes-Cummins e di anti Jaynes-Cumming per provare le condizioni di validità per i due modelli.