Una formulazione secondo la ``teoria gradiente'' del comportamento anelastico di un tessuto bifasico = A “gradient theory” formulation of the anelastic behavior of a biphasic tissue

L'obiettivo di questa Tesi è di costruire un modello matematico che descriva i cambiamenti nella microstruttura di una particolare classe di sistemi biologici, noti come tessuti biologici, il cui comportamento meccanico è anelastico sotto le condizioni di carico tipicamente riscontrate sperimentalmente. Nella nostra descrizione, un tessuto biologico è studiato come un mezzo bifase, costituito da una fase solida, comprendente le cellule, i filamenti proteici e la matrice extracellulare, e una fase fluida, che rappresenta il fluido interstiziale. A tal scopo, iniziamo con il richiamare alcuni concetti di Geometria Differenziale e di Analisi Funzionale, in quanto sono gli strumenti più naturali per formalizzare la Meccanica dei Continui. In seguito, presentiamo la formulazione classica della cinematica delle miscele bifasi, in cui la fase solida è ipotizzata avere un comportamento elastoplastico. Una volta che la cinematica è descritta, per dualità introduciamo le forze generalizzate agenti sul sistema in esame, e facciamo ricorso al Principio delle Potenze Virtuali per ottenere le corrispondenti equazioni dinamiche. Infine, per chiudere il modello matematico, specifichiamo l'insieme delle leggi costitutive per le forze interne generalizzate, in accordo con gli assiomi della teoria delle relazioni costitutive. Seguendo questo paradigma, siamo in grado di descrivere sia il flusso del fluido interstiziale sia la risposta elastoplastica della fase solida, che comprende il moto e l'evoluzione delle distorsioni plastiche. Queste ultime soddisfano una equazione differenziale tensoriale ordinaria, nota, in letteratura, come la legge di flusso. Sebbene tutto ciò sia piuttosto standard, utilizziamo le equazioni ottenute mediante questo approccio come base per il confronto con il caso in cui la risposta plastica del fase solida sia di tipo ``gradiente''. Questo è, infatti, l'argomento principale e il risultato più significativo della Tesi, la quale adatta la ``teoria gradiente'' di Gurtin&Anand della elastoplasticità al contesto delle miscele bifasi e lo specializza alla caratterizzazione di un tessuto biologico. Una delle differenze chiave rispetto all'approccio classico è che il campo tensoriale che descrive le trasformazioni strutturali emerse grazie alla plasticità non è più visto come una variabile interna, in quanto, ora, viene considerato come un descrittore cinematico. Pertanto, essa ha il diritto di avere una forza duale generalizzata ed una equazione dinamica associata, determinata grazie al Principio delle Potenze Virtuali. Questa equazione viene chiusa mediante l'introduzione di relazioni costitutive appropriate, che portano ad una equazione differenziale tensoriale alle derivate parziali nella variabile di struttura stessa, mentre il fluido è ipotizzato seguire la legge di Darcy. Infine, per poter osservare se e come il modello secondo la `teoria gradiente'' possa risolvere gli effetti di bordo, testiamo e confrontiamo i due modelli di rimodellamento simulando test di indentazione e torsione, utilizzando il software commerciale COMSOL®.