Inferenza per modelli ad effetti misti descritti da equazioni differenziali stocastiche = Inference for stochastic differential equations models with random effects

Diversi fenomeni sono modellati da equazioni differenziali ordinarie (ODE) o equazioni differenziali stocastiche (SDE). Per rendere questo tipo di modelli quantitativi, è necessario stimarne i parametri sulla base dei dati sperimentali. Tuttavia, nella maggior parte dei casi, alcune difficoltà complicano il quadro. Illustriamo il problema prendendo come esempio la farmacocinetica: in uno studio clinico, un farmaco viene somministrato ad alcuni pazienti e, per ciascuno di essi, viene misurata la concentrazione nel sangue nel tempo. Supponiamo che la concentrazione segua un modello compartimentale, ovvero un sistema dinamico in cui il farmaco viene scambiato tra compartimenti che possono essere interpretati come diversi organi. Il farmaco, per infusione, entra nel corpo attraverso il sangue, parte di esso si accumula in alcuni tessuti (ad esempio il fegato) e parte viene eliminata. Di questo sistema, solo la concentrazione nel sangue può essere effettivamente misurata e non vengono mai osservati direttamente gli altri compartimenti di interesse. Inoltre, la concentrazione nel sangue può essere affetta da un errore di misurazione. La metabolizzazione del farmaco avviene con diverse velocità tra i vari pazienti, ci sono quindi dei parametri individuali che variano da individuo a individuo. I parametri individuali, gli errori di misurazione e le osservazioni mancanti sono variabili non osservate del sistema. Le osservazioni parziali vengono generalmente trattate con approcci bayesiani come i metodi Markov Chain Monte Carlo (MCMC) o, in ambito frequentista, sfruttando l'algoritmo Expectation Maximization (EM). L'utilizzo di questi metodi si complica quando i dati provengono da una SDE, poiché la densità di transizione dell'equazione è normalmente sconosciuta. In letteratura sono stati proposti alcuni algoritmi che hanno ottime performances per alcuni casi semplici. L'obiettivo della tesi è studiare alcuni di questi metodi, implementarli in R e testarli su dati simulati, al fine di comprendere, in ciascuna situazione, la loro applicabilità, i loro punti deboli e i loro punti di forza e di migliorarne le performances.